강신주 <철학 vs 철학> 19장 무한은 잡을 수 있는가?

19. 무한은 잡을 수 있는가? 힐베르트 VS 브라우어

기하학은 불변하는 형상, 즉 이데아를 추구했던 플라톤의 형이상학과 관련된다. 예를 들어 기하학에서 가장 유명한 피타고라스의 정리는 불변하는 법칙이자 보편적인 진리이다.

플라톤의 형이상학을 대체할 수 있는 새로운 형이상학을 만든 대표적 인물이 들뢰즈와 바디우다.

플라톤의 형이상학과 기하학 사이의 관계는

들뢰즈의 형이상학과 미적분학 사이의 관계

바디우의 형이상학과 집합론 사이의 관계와 위상학적으로 같다.

수학의 가장 기본은 수다. 그래서 수학 체계에서 수론은 아주 중요한 위상을 갖는다. 그리고 이 수론을 정당화하고 체계를 마련한 것이 현대의 집합론이다.

현대 집합론의 창시자인 칸토르는 무한을 정복하고자 했고 무한을 세려고 했다.

무한 집합의 경우 부분은 전체와 개수가 같을 수 있지만, 유한 집합의 경우에는 그런 일이 불가능하다.

배중률 = "A는 B도 아니고, 또 B가 아닌 것도 아니라는 것은 없다."라는 원리

가우스에게 무한이란 물리적 실재가 아니라 관념적 추상이었다. 현실에서는 무한 개의 사과, 무한 개의 산 등을 확인할 수 없다. 무한하게 많다는 것은 우리의 관념에서만 확인 가능하다.

하지만 수학자 힐베르트는 경험적으로 관측되지 않는다고 해서, 무한을 부정하는 것은 어리석다고 판단했다.

칸토르가 증명했던 무한 집합 이론, 혹은 초한수 이론과 배중률이 무한 집합에도 통용될 수 있다는 내용은 힐베르트가 칸토르로부터 받은 영감이었다.

힐베르트는 수학에 토대를 마련할 수 있는 형식적 법칙들을 찾으려고 했고 그것을 '공리'라고 불렀다.

브라우어의 비판은 크로네커의 비판을 반복하고 있다. "신은 자연수를 창조했고, 나머지는 모두 인간의 창작이다"

브라우어는 공간의 선험성을 포기하고 시간의 선험성을 견지하자고 주장했다. 공간의 선험성은 기하학과 관련되고, 시간의 선험성은 수론과 관련된다. 결국 브라우어는 수론을 기초로 기하학 등 수학 분과에 토대를 마련하고자 했던 것이다.

브라우어는 자연수가 수론의 대상 중 가장 원초적인 것이라고, 우리의 직관에 의해 처음으로 알려지는 것이라고 주장했다. 이것이 브라우어의 직관주의다.

브라우어는 직관주의를 다시 한번 정리한 뒤, 배중률이 이미 폐기되었다고 선언한다. 귀납법과 그것의 기초가 되는 배중률은 유한 집합에만 통용되기에, 무한 집합에는 적용해서는 안 된다는 취지였다.

공리에 의해 자연수에 기초를 부여하려고 했던 페아노 = 형식주의 = 자유롭게 선택된 형식적인 공리들의 체계로 수학에 토대를 제공하려고 시도 = 힐베르트
집합론으로 자연수에 기초를 부여하려 했던 프레게 = 논리주의 = 수학의 토대로 집합론적 논리학을 제안 = 프레게, 화이트 헤드, 러셀
칸트의 인식론에 영감을 받은 직관주의 = 칸트 철학을 따라 인간의 유한한 감성 경험을 수학의 토대로 제안한 것 = 브라우어

1931년 발표된 괴델의 불완정성의 정리에 의해 힐베르트가 꿈꾸었던 수학기초론은 불가능하게 된다.

자신을 포함한 집합은 항상 역설에 봉착한다는 사실에 의해 논리주의도 실패한다.